人教版小学数学至初中数学部分知识

老梦站长

人教版小学数学至初中数学部分知识体系

（就图一乐）

第一部分 小学数学知识体系

一、数的认识与运算

1. 整数的认识

数位顺序表（扩展至12位数）：

千亿位	百亿位	十亿位	亿位	千万位	百万位	十万位	万位	千位	百位	十位	个位
10¹¹	10¹⁰	10⁹	10⁸	10⁷	10⁶	10⁵	10⁴	10³	10²	10¹	10⁰

数的性质：

- 整除特征：

  - 被2整除：个位是0、2、4、6、8

  - 被3整除：各位数字之和被3整除

  - 被5整除：个位是0或5

  - 被9整除：各位数字之和被9整除

例题：判断3576是否能被3整除

解答：3+5+7+6=21，21÷3=7，∴3576能被3整除

小数数位顺序表：

整数部分	小数点	小数部分
个位	.	十分位	百分位	千分位	万分位

小数性质：

- 小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变

- 小数大小比较：先比较整数部分，再比较小数部分

例题：把2.0800化简

解答：2.0800=2.08

3. 分数的认识

分数的意义：

- 把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数

- 分数各部分名称：分子、分母、分数线

分数的性质：

- 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变

例题：把12/18化成最简分数

解答：12/18=(12÷6)/(18÷6)=2/3

4. 百分数

百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数

百分数与小数、分数的互化：

- 小数→百分数：小数点向右移动两位，添上%

- 百分数→小数：去掉%，小数点向左移动两位

- 分数→百分数：先把分数化成小数，再化成百分数

例题：把0.375、3/8、37.5%按从大到小排列

解答：0.375=37.5%，3/8=0.375=37.5%，所以三者相等

二、代数初步

1. 简易方程

方程的意义：含有未知数的等式

等式的性质：

- 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立

- 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立

例题：解方程3x+5=20

解答：

3x+5=20

3x=20-5

3x=15

x=5

2. 比例

比例的意义：表示两个比相等的式子

比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积

正比例与反比例：

- 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定

- 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定

例题：判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例

(1) 速度一定，路程和时间

(2) 路程一定，速度和时间

解答：

(1) 路程÷时间=速度(一定)，成正比例

(2) 速度×时间=路程(一定)，成反比例

三、图形与几何

1. 平面图形

周长公式：

- 长方形：C=2(a+b)

- 正方形：C=4a

- 圆的周长：C=2πr=πd

面积公式：

- 长方形：S=ab

- 正方形：S=a²

- 平行四边形：S=ah

- 三角形：S=ah÷2

- 梯形：S=(a+b)h÷2

- 圆的面积：S=πr²

例题：一个梯形上底5cm，下底9cm，高6cm，求面积

解答：S=(5+9)×6÷2=14×6÷2=42cm²

2. 立体图形

表面积公式：

- 长方体：S=2(ab+ah+bh)

- 正方体：S=6a²

- 圆柱：S=2πr²+2πrh

体积公式：

- 长方体：V=abh

- 正方体：V=a³

- 圆柱：V=πr²h

- 圆锥：V=πr²h÷3

例题：一个圆柱底面半径4cm，高10cm，求体积和表面积

解答：

体积：V=3.14×4²×10=3.14×16×10=502.4cm³

表面积：S=2×3.14×4²+2×3.14×4×10=100.48+251.2=351.68cm²

四、统计与概率

1. 统计表与统计图

统计图的种类：

- 条形统计图：便于比较数量多少

- 折线统计图：反映数量变化趋势

- 扇形统计图：表示各部分与整体的关系

例题：根据某班学生喜欢的运动项目统计表，绘制条形统计图和扇形统计图

2. 平均数

平均数的意义：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商

计算公式：平均数=总数÷总份数

例题：某小组8名同学的身高分别是：142cm、145cm、138cm、152cm、147cm、139cm、148cm、151cm，求平均身高

解答：(142+145+138+152+147+139+148+151)÷8=1162÷8=145.25cm

第二部分 初中数学知识体系

一、数与代数

1. 实数

实数分类：

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数

绝对值：|a|={a(a≥0),-a(a<0)}

例题：已知|a-2|+|b+3|=0，求a+b的值

解答：

∵|a-2|≥0，|b+3|≥0，且它们的和为0

∴a-2=0，b+3=0

∴a=2，b=-3

a+b=2+(-3)=-1

2. 整式

整式的分类：

- 单项式：由数字与字母的积组成的代数式

- 多项式：几个单项式的和

- 整式：单项式和多项式统称为整式

整式的运算：

- 加减法：合并同类项

- 乘法：

  - 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘

  - 单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项

  - 多项式×多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项

乘法公式：

- 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

- 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

例题：分解因式x²-5x+6

解答：x²-5x+6=(x-2)(x-3)

3. 分式

分式的意义：形如A/B的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母

分式的性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变

分式的运算：

- 加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分再计算

- 乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘

例题：计算(x²-4)/(x²-1)÷(x+2)/(x-1)

解答：

原式=[(x+2)(x-2)]/[(x+1)(x-1)]×(x-1)/(x+2)=(x-2)/(x+1)

4. 方程与不等式

一元一次方程：ax+b=0(a≠0)

二元一次方程组：

- 代入消元法

- 加减消元法

一元二次方程：ax²+bx+c=0(a≠0)

- 求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)

- 根的判别式：Δ=b²-4ac

不等式性质：

- 加减同数不等号方向不变

- 乘除正数方向不变

- 乘除负数方向改变

例题：解方程x²-4x+3=0

解答：

方法一（因式分解）：(x-1)(x-3)=0，x₁=1，x₂=3

方法二（公式法）：Δ=(-4)²-4×1×3=4，x=(4±√4)/2=2±1，x₁=1，x₂=3

5. 函数

函数概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数

一次函数：y=kx+b(k≠0)

- 图象：直线

- 性质：

  - k>0时，y随x增大而增大

  - k<0时，y随x增大而减小

二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0)

- 图象：抛物线

- 性质：

  - a>0时，开口向上；a<0时，开口向下

  - 顶点坐标：[-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)]

  - 对称轴：x=-b/(2a)

反比例函数：y=k/x(k≠0)

- 图象：双曲线

- 性质：

  - k>0时，图象在一、三象限

  - k<0时，图象在二、四象限

例题：已知二次函数y=x²-4x+3，求顶点坐标和对称轴

解答：

配方：y=x²-4x+3=(x-2)²-1

顶点坐标：(2,-1)

对称轴：x=2

二、图形与几何

1. 几何基本概念

点、线、面：点动成线，线动成面，面动成体

角：锐角、直角、钝角、平角、周角

相交线与平行线：

- 对顶角相等

- 同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等

- 平行线判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补

- 平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补

例题：如图，AB∥CD，∠1=70°，求∠2的度数

```

A ----------- B

  \

   \ 1

    \

C ----\------- D

      \ 2

       \

         E

```

解答：

∵AB∥CD

∴∠1=∠3(同位角相等)

又∵∠2+∠3=180°(邻补角)

∴∠2=180°-∠3=180°-70°=110°

2. 三角形

三角形分类：

- 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形

- 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

三角形性质：

- 内角和定理：三角形内角和等于180°

- 外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和

- 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

全等三角形判定：

- SSS（边边边）

- SAS（边角边）

- ASA（角边角）

- AAS（角角边）

- HL（斜边直角边，仅用于直角三角形）

相似三角形判定：

- 两角对应相等

- 两边对应成比例且夹角相等

- 三边对应成比例

特殊三角形：

- 直角三角形：

  - 勾股定理：a²+b²=c²

  - 性质：斜边上的中线等于斜边的一半

- 等腰三角形：

  - 性质：两底角相等，三线合一

- 等边三角形：

  - 性质：三边相等，三角均为60°

例题：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B的度数

解答：

∵AB=AC

∴∠B=∠C

又∵∠A+∠B+∠C=180°

∴40°+2∠B=180°

2∠B=140°

∠B=70°

3. 四边形

平行四边形：

- 性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分

- 判定：

  - 两组对边分别平行

  - 两组对边分别相等

  - 一组对边平行且相等

  - 对角线互相平分

特殊平行四边形：

- 矩形：有一个角是直角的平行四边形

  - 性质：四个角都是直角，对角线相等

- 菱形：有一组邻边相等的平行四边形

  - 性质：四条边都相等，对角线互相垂直

- 正方形：既是矩形又是菱形的平行四边形

  - 性质：兼具矩形和菱形的所有性质

梯形：

- 等腰梯形：两腰相等的梯形

  - 性质：同一底上的两个角相等，对角线相等

- 直角梯形：有一个腰垂直于底边的梯形

例题：证明平行四边形的对角线互相平分

已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O

求证：OA=OC，OB=OD

证明：

∵AB∥CD∴∠BAO=∠DCO

∵AB=CD，∠AOB=∠COD

∴△AOB≌△COD(ASA)

∴OA=OC，OB=OD

4. 圆

圆的基本概念：圆心、半径、直径、弦、弧、圆周角、圆心角

圆的性质：

- 同圆或等圆中，半径相等，直径相等

- 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

- 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半

与圆有关的位置关系：

- 点与圆：点在圆内、圆上、圆外

- 直线与圆：相离、相切、相交

- 圆与圆：外离、外切、相交、内切、内含

弧长与扇形面积：

- 弧长：l=(nπr)/180(n为圆心角度数)

- 扇形面积：S=(nπr²)/360=(lr)/2

例题：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CE=4cm，DE=6cm，求⊙O的半径

```

    C

    |\

    | \

    |  \

A ---E--- B

    |  /

    | /

    |/

    D

三、统计与概率

1. 数据处理

数据收集：全面调查、抽样调查

数据整理：频数分布表、频数分布直方图

数据描述：

- 集中趋势：平均数、中位数、众数

- 离散程度：极差、方差、标准差

计算公式：

- 平均数：x̄=(x₁+x₂+...+xₙ)/n

- 方差：s²=[(x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+...+(xₙ-x̄)²]/n

- 标准差：s=√s²

例题：某组数据：5,7,8,6,9，求平均数、方差、标准差

解答：

平均数：x̄=(5+7+8+6+9)/5=35/5=7

方差：s²=[(5-7)²+(7-7)²+(8-7)²+(6-7)²+(9-7)²]/5=(4+0+1+1+4)/5=10/5=2

标准差：s=√2≈1.414

2. 概率初步

概率定义：表示随机事件发生的可能性大小的数值

概率计算：

- 古典概型：P(A)=m/n(m为A包含的基本事件数，n为基本事件总数)

- 几何概型：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

频率与概率：大量重复试验时，频率稳定于概率

例题：掷一枚均匀的骰子，求点数为偶数的概率

解答：

样本空间：{1,2,3,4,5,6}

事件A：点数为偶数，即{2,4,6}

P(A)=3/6=1/2

第三部分 常用数学知识储备

一、基础运算表

1. 乘法口诀表

```

1×1=1   1×2=2   1×3=3   1×4=4   1×5=5   1×6=6   1×7=7   1×8=8   1×9=9

2×1=2   2×2=4   2×3=6   2×4=8   2×5=10  2×6=12  2×7=14  2×8=16  2×9=18

3×1=3   3×2=6   3×3=9   3×4=12  3×5=15  3×6=18  3×7=21  3×8=24  3×9=27

4×1=4   4×2=8   4×3=12  4×4=16  4×5=20  4×6=24  4×7=28  4×8=32  4×9=36

5×1=5   5×2=10  5×3=15  5×4=20  5×5=25  5×6=30  5×7=35  5×8=40  5×9=45

6×1=6   6×2=12  6×3=18  6×4=24  6×5=30  6×6=36  6×7=42  6×8=48  6×9=54

7×1=7   7×2=14  7×3=21  7×4=28  7×5=35  7×6=42  7×7=49  7×8=56  7×9=63

8×1=8   8×2=16  8×3=24  8×4=32  8×5=40  8×6=48  8×7=56  8×8=64  8×9=72

9×1=9   9×2=18  9×3=27  9×4=36  9×5=45  9×6=54  9×7=63  9×8=72  9×9=81

```

2. 常用分数-小数-百分数互化表

分数	小数	百分数	分数	小数	百分数
1/2	0.5	50%	1/8	0.125	12.5%
1/3	0.333...	33.3%	3/8	0.375	37.5%
2/3	0.666...	66.7%	5/8	0.625	62.5%
1/4	0.25	25%	7/8	0.875	87.5%
3/4	0.75	75%	1/10	0.1	10%
1/5	0.2	20%	3/10	0.3	30%
2/5	0.4	40%	7/10	0.7	70%
3/5	0.6	60%	9/10	0.9	90%
4/5	0.8	80%	1/100	0.01	1%

二、几何公式速查1. 平面图形公式表

图形	周长公式	面积公式	其他性质
正方形	C=4a	S=a²	对角线d=a√2
长方形	C=2(a+b)	S=ab	对角线d=√(a²+b²)
三角形	C=a+b+c	S=ah/2	海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，p=(a+b+c)/2
平行四边形	C=2(a+b)	S=ah	对角线互相平分
梯形	C=a+b+c+d	S=(a+b)h/2	中位线m=(a+b)/2
菱形	C=4a	S=ah=d₁d₂/2	对角线互相垂直
圆	C=2πr=πd	S=πr²	圆周率π≈3.14159
扇形	L=(nπr)/180+2r	S=(nπr²)/360=(lr)/2	n为圆心角度数

2. 立体图形公式表

图形	表面积公式	体积公式	其他性质
正方体	S=6a²	V=a³	对角线d=a√3
长方体	S=2(ab+ah+bh)	V=abh	对角线d=√(a²+b²+h²)
圆柱	S=2πr²+2πrh	V=πr²h	侧面积S侧=2πrh
圆锥	S=πr²+πrl	V=πr²h/3	母线l=√(r²+h²)
球	S=4πr²	V=4πr³/3	大圆周长C=2πr
棱柱	S=S侧+2S底	V=S底h	直棱柱侧面积S侧=ph(p为底面周长)
棱锥	S=S侧+S底	V=S底h/3	正棱锥侧面积S侧=pl/2(p为底面周长，l为斜高)

三、数学思想方法

1. 数形结合思想

核心：将抽象的数学语言与直观的几何图形相结合

应用：

- 用数轴表示不等式解集

- 用函数图象分析函数性质

- 用几何图形解释代数公式

- 用坐标系研究几何问题

例题：求函数y=√(x²+1)+√(x²-4x+8)的最小值

几何解：

y=√[(x-0)²+(0-1)²]+√[(x-2)²+(0-2)²]

表示x轴上点P(x,0)到A(0,1)和B(2,2)的距离和

作A关于x轴的对称点A'(0,-1)

则PA+PB=PA'+PB≥A'B=√[(2-0)²+(2+1)²]=√13

∴最小值为√13

2. 分类讨论思想

核心：按不同情况分别讨论，避免遗漏

应用：

- 含绝对值的问题

- 等腰三角形相关问题

- 方程系数含参数的问题

- 图形位置不确定的问题

例题：解方程|2x-1|-|x+3|=2

解答：

零点分段：x=-3，x=1/2

(1)x≤-3：-(2x-1)-[-(x+3)]=2⇒-2x+1+x+3=2⇒-x+4=2⇒x=2（舍）

(2)-3<x≤1/2：-(2x-1)-(x+3)=2⇒-3x-2=2⇒x=-4/3

(3)x>1/2：(2x-1)-(x+3)=2⇒x-4=2⇒x=6

∴解为x=-4/3或x=6

3. 转化与化归思想

核心：将复杂问题转化为已知问题

应用：

- 换元法

- 配方法

- 构造法

- 坐标法

例题：已知x+y=1，求x²+y²的最小值

解法一（代数转化）：

∵x²+y²=(x+y)²-2xy=1-2xy

且xy≤(x+y)²/4=1/4

∴x²+y²≥1-2×(1/4)=1/2

当x=y=1/2时取等号

解法二（几何转化）：

问题转化为：直线x+y=1上的点到原点距离平方的最小值

原点到直线的距离d=|0+0-1|/√2=1/√2

∴最小距离平方=(1/√2)²=1/2

4. 函数与方程思想

核心：用函数观点看方程，用方程思想解函数问题

应用：

- 求函数零点转化为解方程

- 用函数图象求方程近似解

- 建立函数模型解决实际问题

四、答题规范与技巧

1. 解答题规范步骤

第一步：审题

- 仔细阅读题目，理解题意

- 明确已知条件和求解目标

- 识别题目类型和涉及知识点

第二步：分析

- 寻找解题思路，选择合适方法

- 确定解题步骤和关键环节

- 预估可能遇到的困难和对策

第三步：解答

- 规范书写，逻辑清晰

- 步骤完整，有理有据

- 符号统一，格式规范

第四步：检验

- 检查计算过程和结果

- 验证答案的合理性和正确性

- 反思解题方法和优化空间

2. 证明题规范要求

已知与求证：明确写出已知条件和要证明的结论

证明过程：

- 推理严密，每一步有依据

- 注明使用的定理、公理、定义

- 书写规范，逻辑清晰

证明方法：

- 综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论

- 分析法：从结论出发，寻找成立的条件

- 反证法：假设结论不成立，推出矛盾